基点公式～整合計算は美しい～

2022年11月26日2023年1月28日

整合計算は美しい

突然ですが、整合計算は美しいのです。

これから整合計算の何が美しいのかを説明していきます。

なお、ここでは250点単位にするときに生じる例外を考慮しません。

まず、次の基点数列$\{b_n\} ( n = 1, 2, \ldots , 7, 8, \ldots ) $（bはbasic point（基点）の頭文字）を定めます。

基点数列

\begin{eqnarray}
& & \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8, … \} \\
&=& \{ 500, 750, 1000, 1500, 2000, 3000, 4000, 4500, … \}
\end{eqnarray}

基点数列は、翻の基点を昇順に並べたものに一致します。

次に、この基点数列と条件の基点が一致するよう、次のように条件の基点に番号$ c = 1, 3, 4, 5, 6 $ （cはcondition（条件）の頭文字）を振ります。

条件	基点	番号$c$
子のツモアガリ時、子の支払い	500	1
子のツモアガリ時、親の支払い親のツモアガリ時、子の支払い	1000	3
三人麻雀における子のロンアガリ	1500	4
四人麻雀における子のロンアガリ三人麻雀における親のロンアガリ	2000	5
四人麻雀における親のロンアガリ	3000	6

翻数を$x$、点数を$p$とします。

ここで、$p$は$x$と$c$と$b_n$を用いて次式で表すことができます。

基点公式

$$ p = \frac{b_c b_{2x-1}}{1000} $$

これは数列を用いて基点公式を表したものです。

なんと、今まで無関係と思われていた、「親子やツモ・ロンと点数の関係」と「翻数と点数の関係」を、すべての翻数について三麻と四麻をひっくるめて同じ数列を使って表せるのです！

なぜこのような美しい数式が成立するのでしょうか？

それは、2翻の点数がいずれも、$1 \le x \le 4 $における「子のツモアガリ時、親の支払い」または「親のツモアガリ時、子の支払い」の点数の一部と、偶然一致したからです。

点数早見表を見ると、確かに一致していることが分かります。

翻数	子ツモ子	子ツモ親親ツモ子	三麻子	四麻子三麻親	四麻親
1	250	500	750	1000	1500
1.5	500	750	1250	1500 四麻ツモ： 1750	2250
2	500	1000	1500	2000	3000
2.5	750	1500	2250	3000	4500
3	1000	2000	3000	4000	6000
3.5	1500	3000	4500	6000	9000
4	2000	4000	6000	8000	12000
4.5	2250	4500	6750	9000	13500
5	2500	5000	7500	10000	15000
5.5	2750	5500	8250	11000	16500
6	3000	6000	9000	12000	18000
6.5	3250	6500	9750	13000	19500
7	3500	7000	10500	14000	21000
7.5	3750	7500	11250	15000	22500
8	4000	8000	12000	16000	24000
8.5	4250	8500	12750	17000	25500
9	4500	9000	13500	18000	27000
9.5	4750	9500	14250	19000	28500
10	5000	10000	15000	20000	30000
10.5	5250	10500	15750	21000	31500
11	5500	11000	16500	22000	33000
11.5	5750	11500	17250	23000	34500
12	6000	12000	18000	24000	36000
12.5	6250	12500	18750	25000	37500
13以上役満	8000	16000	24000	32000	48000